Migration des ions

D'après sujet de bac STL, Polynésie, 2022.

Découverte en 1892 par S. E. Linder et H. Picton, puis développée dans les années 1930 par le chimiste suédois Arne Tiselius (prix Nobel de chimie en 1948), l’électrophorèse est, avec la chromatographie, la principale technique utilisée pour séparer ou caractériser les espèces ioniques d’intérêt biologique, comme les acides aminés.

L’objectif de cet exercice est de déterminer la durée de migration nécessaire pour séparer deux acides aminés, l’acide aspartique et l’acide glutamique, par électrophorèse.
La valeur de la vitesse \(v\) de migration d'un ion d’acide aspartique est solution de l’équation différentielle \(v^{\prime} = −1,3 \times 10^{13} v + 3,9 \times 10^8\) où la vitesse \(v\) est exprimée en mètres par seconde (\(\text{m}\cdot \text{s}^{−1}\)) et le temps \(t\) est exprimé en secondes (\(\text{s}\)).

1. Déterminer la solution générale \(v\) de cette équation différentielle définie sur \(\lbrack 0~ ; +\infty \lbrack\).
2. Sachant que \(v(0) = 0\), déterminer la solution \(v\) vérifiant cette condition initiale, pour tout \(t\in \lbrack 0~ ; +\infty \lbrack\).
3. Justifier que \(\lim \limits_{t\rightarrow +\infty}v(t)=3\times 10^{-5}\).
4. On note \(t_{90}\) l’instant, exprimé en seconde, pour lequel la vitesse atteint \(90\; \%\) de sa vitesse limite. Montrer que \(t_{90} = 1,8 × 10^{−13}\), arrondi à \(10^{−14}\).